[Book] 페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리 Fermat's Last Theorem

n >= 3 이상의 정수일 때, x^n + y^n = z^n 을 만족하는 정수해 x, y, z 는 존재하지 않는다.

나는 경이로운 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다. 
- 피에르 드 페르마 , 1637

17세기 프랑스의 아마추어 수학자 페에르 드 페르마는 고대의 수학자 디오판토스가 쓴 정수론의 기본을 다룬 수학서적인 "아리스메티카" 를 보고 홀로 연구를 진행한다. 페르마는 아리스메티카를 공부하면서 틈틈히 이 책의 여백에 자신만의 정리와 증명을 주석으로 갈겨썼는데, 친화수(amicable numbers)와 같은 다양한 새로운 정수론의 발견을 하게 된다. 페르마가 남긴 정리 중 많은 내용들이 이후 수학자들에 의하여 증명이 되었으나, 그의 마지막 정리만은 끝까지 증명되지 않은채 난제로 남게 된다. 이것이 바로 그 유명한 페르마의 마지막 정리( Fermat's Last Theorem ) 이다.

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi banc marginis exiguitas non caperet
나는 경이로운 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 책의 여백이 너무 좁아 여기에 옮기지는 않겠다.

페르마는 증명했다고 주장하였으나, 이후 그 누구도 이 정리를 증명할 수 없었고, 이 문제는 근대 수학사의 최악의 수수께끼로 남게 된다.

이 문제가 특히 유명한 이유는 문제 자체는 초등학생도 이해할 수 있는 쉬운 문제이지만, 그 증명은 너무나 어렵다는 것에 있다. 문제 자체가 이해하기 쉽다는 점 떄문에 전문적인 수학자들 뿐만아니라 많은 아마추어 수학자와 학생들이 한번쯤 이 문제에 도전하였다. 그러나 페르마가 최초로 제기한 이후 이 증명은 300 년 동안 증명되지 않았다.

그로부터 300 여년이 지난 후, 영국의 수학자인 앤드류 와일즈(Andrew Wiles) 는 그의 나이 10살이던 해에 도서관에서 우연히 페르마의 마지막 정리에 대해 읽게 된다. 10살이던 앤드류조차 이해할 수 있는 문제였지만, 그 누구도 증명하지 못했다는 점에서 엄청난 매력을 주는 문제였다. 그리고 어린 앤드류는 자신의 인생의 목표로서 페르마의 마지막 정리를 풀겠다는 다짐을 스스로 하게 되었다 한다.

케임브리즈 대학을 졸업하고 아이비리그 중 하나인 프린스턴 Princeton 대학의 수학 교수가 된 앤드류 와일즈는 30세가 넘어선 이후 자신의 일생일대의 목표였던 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 작업에 본격적으로 착수한다. 그는 학교에서 맡은 필수 강의 의외의 다른 외부 세미나, 학회등은 모두 제쳐두고 페르마의 마지막 정리의 증명에 필요한 연구만 지속한다.

최신의 수학 기법들을 익히면서 주위사람들에게는 아무도 자신의 연구진행 상황을 알리지 않은채, 비밀리에 혼자서 연굴르 진행하기 시작한 것이다. 약 7년간의 은둔생활동안 연구를 계속한 끝에 최초 발표했던 1993년에 증명에 오류가 있어 증명에 성공했다는 발표를 번복하는 소동이 벌어지기도 했으나 1994년에 최종적으로 증명에 성공한다. 

학문의 발전은 흔히 영화나 만화에서 보는것 처럼 불세출의 천재에 의해 A 에서 D 로 바로 건너뛰는 경우는 거의 없다. 뉴턴이 말한 것과 같이 선대의 거인들이 이룩한 수많은 경험과 학습결과로 부터 얻은 지식을 바탕으로, 후대의 학자들이 A 에서 B, C, D 에 이르기까지 하나씩 차근차근 쌓아나가는 것이 바로 인류의 이룩한 학문의 발전 과정이었다. 페르마의 마지막 정리 역시 앤드류 와일즈가 증명하기는 했지만 결코 와일즈 혼자의 힘으로 증명된 것은 아니었다.

페르마의 마지막 정리가 알려진 이후 소피 제르맹, 갈루와, 오일러와 같은 많은 선대의 학자들에 의해 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 기본 이론이 연구되고, 부분적으로 N = 3, N = 4 인 경우와 같이 특수한 경우에 대해서 페르마의 마지막 정리가 증명한다는 사실이 증명되었다. 그리고 일본의 두 수학자인 타니야마 - 시무라가 1950년대에 모듈과 타원방정식에 대한 추론인 타니야마 - 시무라 추론을 발표한다. 증명되지 않은 추론이었지만, 타니야마 - 시무라 추론을 통해 페르마의 마지막 정리를 해결할 수 있다는 사실이 확인되면서 페르마의 마지막 정리의 증명작업은 탄력을 받게 된다.

이 책의 가장 큰 주제는 앤드류 와일즈가 어떤 과정을 거쳐 자신의 인생의 목표인 페르마의 마지막 정리를 증명하는지를 서술하고 있지만, 단순히 그 것만을 다루고 있지는 않다. 이 책에서는 페르마의 마지막 정리가 등장한 배경부터 시작하여 이후 페르마의 마지막 정리가 하나씩 증명되기 위한 사전 정리와 학설이 등장하는 과정을 물 흐르듯이 서술하고 있다. 이 과정에서 피타고라스, 아르키메데스, 오일러,  페르마, 드 모르간, 가우스, 갈루와와 같은 대 수학자들의 일화가 소개된다. 페르마의 마지막 정리의 증명이라는 종착점에 도착하기 전까지 중간 기착지를 하나씩 거치듯이, 페르마의 마지막 정리가 증명되기 까지의 수학사의 발전 과정을 하나씩 알기쉽게 다루고 있다. 또한 중간 중간 재미있는 수학 이야기들 - 4색 지도 문제, 게임이론 등과 같은 - 이 등장하여 지속적으로 독자들의 흥미를 유발하고 있다.

많은 사람들에게 머리 아픈 수학자의 이야기가 이렇게 책으로 만들어지고, 많은 이들에게 호평을 받으며 읽힌 이유는 복잡하고 어려운 수학 이야기를 쉽게 풀어쓴 저자 사이먼 싱의 뛰어난 필력에도 있겠지만, 기본적으로는 한 남자가 어린시절에 그 누구도 해결하지 못한 불가능에 가까운 문제에 도전하고, 자신이 설정한 평생의 목표를 결국 이루고야 마는 동화적인 이야기가 주는 감동 때문일 것이다.

수학이라는 학문은 많은 사람들에게 골치아프고, 재미없고 성적 하락의 주범인 학문인 경우가 많을 것이다. 사실 나 역시 그랬다. -_- 하지만 이 책을 읽으면서 어린 시절의 수학에 대한 순수한 학문적인 호기심과 수학자들의 열정이 마음에 전해오는 듯 했다. 수학에 흥미가 있는 사람들 뿐만 아니라 순수학문과 지적 호기심을 채우고 싶은 사람들에게 매우 즐거운 지적 자극이 되는 책으로 추천할 만 하다.

참고로 앤드류 와일즈가 최종적으로 증명에 성공한 시점이 1994년 이었고, 이후 수학의 노벨상이라 불리우는 필드상(Fields Award) 은 1998 년에 시상되었는데, 40 세 미만의 수학자들에게 수여한다는 규칙때문에 1998 년 당시에 이미 만 40 세가 넘은 와일즈는 필즈상을 받을 수 없어서 대신 공로상을 받았다 한다. 만약 와일즈가 1993년에 증명에 성공했다면 4년마다 수여되는 필즈상을 1994년에 받을 수 있었을 것이다.

아래는 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드류 와일즈의 논문이다. 이 논문은 국제 학술지인 Annals of Mathematics 에 1995년 발표되었다.

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